El músico se dio a conocer por sus virtuosas interpretaciones y grabaciones de las obras de Paganini, llegando, incluso, a ser calificado como el Paganini del siglo XX.
Hijo de inmigrantes italianos, nació en San Francisco en 1918. Empezó a estudiar violín a la edad de seis años con su padre, y posteriormente recibió clases del que también fuera profesor de Yehudi Menuhin, Louis Persinger, quien se convertiría en su pianista acompañante en muchos recitales y grabaciones.
Su fama comenzó tras ganar un concurso local, en el que, según las reseñas de la prensa de entonces, lo consideraron ya como «un joven genio».
Ricci debutó en su ciudad en 1928, y a continuación viajó a Berlín para empliar sus estudios con Georg Kulenkampff. Allí se familiarizó con la técnica alemana en la tradición de Adolf Busch. También estudió con Michel Piastro y Paul Stassevich.Después volvería a San Francisco para continuar su formación con Persinger.
Su primer gira europea la realizaría en 1932, debutando en el Londres con elConcierto para violín de Mendelssohn. Ese mismo año, tocaría ante el científico Albert Einstein en el Instituto de Tecnología de California.
Durante la II Guerra Mundial, se unió a las Fuerzas Armadas, convirtiéndose en un especialista en el entretenimiento de las tropas.
En 1947, Ricci se convirtió en el primer violinista en grabar todos los Caprichos de Niccolò Paganini, con la discográfica Shellac. (Los llegó a registrar hasta cuatro veces, la última con el violín Guarneri propiedad del propio Paganini, prestado por la ciudad de Génova,).Tras su época en el servicio militar, redescubrió muchas piezas de compositores del siglo XIX; también estrenó numerosas obras de compositores contemporáneos.
A lo largo de su dilatada carrera, Ricci llegó a actuar en más de 5,000 conciertos en 65 países.
Además de su trayectoria como concertista, el músico desarrolló una carrera en la docencia, impartiendo clases en la Universidad de Indiana, la Juilliard School de Nueva York, la Universidad de Michigan y el Mozarteum de Salzburgo. Escribió un libro llamado Técnica de la mano izquierda, publicado por G. Schirmer.
Sus numerosas grabaciones, más de 500, incluyen obras de Paganini, Bach, Beethoven y Mozart.